POLIGONALES

Mediante la Taquimetría, que es el método de levantamiento topográfico, tanto planimétrico como altimétrico, en el cual, tras la utilización de un taquímetro, es posible representar una porción de la superficie terrestre, en función de la medida de angulos verticales y horizontales, y además sin dejar de lado, las longitudes hechas en el mismo terreno, para que con posterioridad, puedan ser representadas en un dibujo a escala. Siendo lo que originariamente dio origen a la triangulación ( donde se utiliza uno de los polígonos mas simples que existe ), la que mediante un proceso muy lento, fue quedando en segundo plano debido a la poligonación, que hoy en día, es el principal elemento utilizado en los trabajos topográficos y trabajos catastrales; ya que este, es el procedimiento geométrico que nos permite realizar un levantamiento topográfico, mediante el uso de figuras llamadas polígonos, sin dejar de lado la forma triangular y mediante el uso de polígonos o poligonales, nos aseguramos de una buena representación cartográfica de la zona a levantada,sin desestimar la precisión y exactitud con que se debe trabajar.
Las poligonales pueden ser abiertas o cerradas, ya sean si tienen comprobación o no, teniendo cada uno de sus vértices coordenadas y cota conocida, básicamente existen tres tipos de poligonal, siendo la primera, la poligonal acimutal, consistente en que cada estación o vértice de la poligonal, se deberá medir el azimut hacia la próxima estación, siempre en el mismo sentido de avance, ya sea este en sentido horario o en sentido antihorario, luego la segunda, es la poligonación con cero atrás, que consiste en medir el azimut en un solo
vértice de la poligonal, y medir los angulos horizontales interiores con sentido de avance antihorario, o los angulos horizontales exteriores con sentido de avance horario, para seguir con posterioridad con el calculo de todos lo azimutes en función de dichos angulos y como tercero y ultimo, tenemos la poligonal con cero adelante, consistente en medir el azimut en un solo vértice de la poligonal y medir los angulos horizontales interiores con sentido de avance horario o los angulos horizontales exteriores con sentido antihorario, o sea, al revés que la poligonal con cero atrás, para proseguir con los cálculos de todos los azimutes en función de
dichos angulos. Todo lo anterior, debido a que la finalidad de una poligonal es calcular, principalmente las coordenadas de cada uno de los vértices que la componen, siendo los parámetros que la definen el azimut y la distancia; esta ultima se mide en todos los tramos con el mismo método, variando solamente tan solo el aporte hecho por la tecnología. Así, según el método que se utilice para la obtención de los azimutes de una poligonal, estaremos en condiciones de definir un tipo de poligonal en particular.

Muchas veces no es posible ni conveniente recurrir al método de las alineaciones o a pequeñas triangulaciones para establecer la red de base, especialmente cuando el terreno es irregular, o cuando la vegetación demasiado avanzada presenta un grave obstáculo a las alineaciones largas, como el levantamiento topográfico de Württemberg ( 1.820-1.840 ), donde era imposible triangular a través de la Selva Negra, y para lo cual se hizo un total de 383 kilómetros de poligonación con un teodolito y reglas de 4,3 metros de longitud con nivel. Lo que visualizo desde aquellas épocas, la sustitución de la triangulación en algunos casos, por no decir, en todos, recurriendo en la ocasión al método de las poligonaciones, que es el método itinerario que casi siempre se utiliza para hacer el levantamiento de la red topográfica y/o red de apoyo, método que estará constituido por líneas poligonales principales abiertas, que tienen por extremos dos puntos trigonométricos,ya sean estos vértices ( llamados puntos poligonométricos ) o puntos complementarios, indistintamente, y constituida a su vez por poligonales secundarias que unen dos vértices de poligonales principales, o en un punto de apoyo y en un vértice, lo que da origen a la red topográfica ya mencionada, tal como se ve en la figura contigua.
Para el ejemplo en terreno visualizado anteriormente, frecuentemente se debe contar con una brillada que se denomina de poligonación, la que consta de un operador con dos portamiras y un tercero,encargado de clavar las estacas y a demás se encargará de algún trabajo auxiliar.
Para el levantamiento de un itinerario, se orientara el taquímetro en la estación de partida, la que podría ser A, por lo tanto para este fin, se puede escoger preferentemente el vértice B como visual de llegada. Solo en el caso de que B no sea visible desde A, o de que AB no sea lado de la poligonal, y por lo cual no tuviese su azimut calculado, se orienta el instrumento con relación a cualquier otro vértice. Se debe procurar que cada itinerario se aproxime lo mejor posible a una recta, dejando marcados los puntos de estación con estacas
numeradas, conviniendo una numeración única para toda la poligonal.
En cada estación se comenzará por clavar la estaca antes de nivelar el instrumento; se dirigirá primero la visual de espalda para orientar, haciendo una segunda lectura en la mira, continuando, si hubiese necesidad, por señalar algún punto por radiación, independiente del itinerario seguido en el ejemplo, punto que recibe el nombre de destacado, que tiene como objetivo enlazar con él algún itinerario secundario posterior o de los de último orden de relleno, de cuyos itinerarios formará este punto el primer eje, utilizandose como estación de partida, en el que se orientará el instrumento, utilizando como azimut de espalda el que obtengamos corregido en 200g.
Para poder utilizarlas en el levantamiento de los detalles, las poligonales deben seguir los accidentes del terreno, subordinando las poligonales principales a la norma constante de alejarse lo menos posible de la recta que une los extremos.
En la elección de los vértices se tendrá cuidado de que dos vértices consecutivos resulten visibles entre si, que cada uno esté en posición adecuada para hacer estación con el instrumento, y que su numero sea tal que se tengan por lo menos 12 por cada 100 hectáreas de terreno. En todos los casos, la longitud de los lados, utilizando la medición directa, conviene que no pase nunca de los 350 metros, ni que sea inferior a 100 metros, prefiriendo siempre los lados largos a los cortos.
El terreno atravesado por los lados debe prestarse a la medición con las reglas, pértigas o cintas, es decir, no debe ser muy accidentado, ni muy inclinado.
Cada poligonal lleva el nombre de los puntos extremos, y sus vértices se numeran en el mismo orden en que se suceden las estaciones de medición. Tanto los lados como los angulos deben medirse dos veces, los primeros en sentido opuesto, los segundos por el método de bessel, empleando, por lo menos, para las poligonales principales, un goniómetro con el cual se puedan leer directamente los 30 sexagesimales o el minuto centesimal con miras de centímetros, y no se deja de mencionar a los taquímetros electrónicos, para
las poligonaciones, cuyas proporciones la hacen ser de gran precisión, al igual que en planos poblacionales a escala de 1:1.000 o superior, o empleados también el método de las cuñas. Las dobles mediciones de los lados deben satisfacer las conocidas condiciones de tolerancia.
El levantamiento de las poligonales se hace por el método de itinerario, midiendo sucesivamente todos los angulos y todos los lados, en los que al mismo tiempo han de dibujarse en un croquis, lo más claro posible, situando todos y cada uno de los puntos que se levanten, para conocer después en gabinete la situación relativa de los puntos entre si, si el terreno cuyo levantamiento se ha de hacer no es muy extenso, este se podrá llevar a cabo independientemente del enlace con los vértices trigonométricos. La red de apoyo estará
constituida por una poligonal cerrada o principal, que se traza bordeando los confines de la zona cuyo levantamiento va a verificarse, y por poligonales abiertas o secundarias que unan dos vértices de la poligonal, o un vértice de ésta con una de la poligonal secundaria. Cuando sea posible, se subdividirá una poligonal secundaria por una alineación. Para este caso, a fin de no incurrir en grandes errores por el cambio de los angulos interiores del polígono por los exteriores. Es necesario hacer siempre la medición de angulos interiores, o siempre de angulos exteriores.
Cuando se trata de pequeños levantamientos, será suficiente un goniómetro que de directamente el minuto sexagesimal, y salvo casos excepcionales, la longitud de los lados deberá estar comprendida entre 60 y 200 metros. Cada vértice llevará un numero de orden progresivo, o sea, 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...,etc., tantos como sean necesarios, o bien pueden ser letras en sustitución de los números, y tantas letras como números tenga el vértice original o nuevo, o sea a,v,f,n,e,h,nh,er,...,kiw,...,etc., utilizado como sistema italiano; así los números servirán para la nomenclatura de los puntos de detalles que se quieran determinar desde las estaciones, empleando para ese fin el método de radiación, midiendo el azimut relativo y la distancia a la estación correspondiente.
Para evitar grandes errores en las medidas de los angulos de las poligonales, es necesario esmerarse mucho en la colocación del instrumento en estación, especialmente cuando dos estaciones están próximas, enfilando las señales con la mayor exactitud posible, dirigiendo la visual con preferencia al pie de las señales, especialmente si estas están muy próximas. A la terminación de cada itinerario, es importante comprobar en el mismo campo el cierre angular de la poligonal, para hacer las rectificaciones oportunas si fuesen necesario.

Hay diversos errores inherentes a una poligonal, los que se pueden agrupar en:

ERRORES COMPENSABLES:
Pertenecen a este grupo los errores de excentricidad, no diametralidad de los nonios, error de colimación, horizontalidad de los ejes, todos los que desaparecen con el método de observación; tan solo basta con visar una lectura en posición directa, y posteriormente visar esta misma en posición inversa o transito.

ERRORES ATENUABLES:
Son todos aquellos errores que se pueden disminuir al limite que se desee, también por el método de observación, dentro de estos errores, tenemos los errores de lectura, errores en las puesta en estación, en la posición de las señales, etc.

ERRORES DESPRECIABLES:
Son aquellos que tienen un valor insignificante, los que se aprecian mejor, mientras más moderno es el instrumento, esto son los errores de graduación y errores de puntería, y en cierta forma los errores de calaje, tan solo para los polígonos y trabajos de menos precisión.

ERROR DEBIDO A UNA ALIADA DE EXCENTRICIDAD:
Cuando el anteojo no está sobre el eje de rotación vertical del instrumento, se produce un error en el azimut de la visual, siendo D una distancia y e la excentricidad; quedando E = e / D ; este error es totalmente compensable y las maneras de hacerlo, son las siguientes:

- Por doble visada:
Visando con la aliada a la izquierda y a la derecha, por tanto el promedio de ambos azimutes, que fuera de error.
- Por mira excéntrica:
Usando una mira de tablilla en que el punto de mira tenga igual excentricidad que el anteojo, el error quedará eliminado.
- Por calculo:
Como es una constante, se puede calcular para cada instrumento el valor de la corrección E en cada distancia D correspondiente.

ERROR DEBIDO A LA MALA POSICIÓN DE LAS MIRAS:
Si las miras o jalones que se observan, no están en posición vertical, sino que forma con ella un ángulo &, se producirá un error en el azimut, el cual será:

E = ( H*& ) / D

Siendo H la altura del punto de la mira visada cuando es cortado por el hilo medio y la vertical, y D la distancia de la estación al punto visado. Este es un error atenuable, porque puede disminuirse al máximo, haciendo puntería lo más abajo posible de la mira o jalón.

ERROR DE PUNTERÍA EN ESTACIÓN:
Si el instrumento no esta bien centrado sobre la estación, se produce, al igual que el caso anterior un error en el azimut, pero en este caso, además de depender de e y D, en función de la orientación visual, también depende de la variación sinusoidal, siendo para esta situación:

E = [ e Sen ( & ) ] / D

Este también es un error atenuable, ya que se disminuye con una centralización cuidadosa del instrumento estacionado.

ERROR DE CIERRE DE LA POLIGONAL:
Si tenemos una poligonal cerrada, y nos instalamos sucesivamente desde A, hasta el final de la poligonal que en este caso será E para determinar la posición correspondiente del vértice A y además si es que se traía originariamente un meridiano única, se deberá estacionar en A nuevamente, para verificar que dicho meridiano no se hubiese girado, con esto tendremos unas medidas muy útiles para la verificación de la precisión de nuestra poligonación, debido a que se pudo haber cometido errores tanto en el levantamiento,
como en el dibujo; lo que traerá como consecuencia futura, ya que al haber colocado el vértice E y estacionarse en este, para ubicar el vértice A, no será posible llegar al homologo de A, sino que a un punto A', que será mas o menos próximo a A, lo que originará el llamado Error de Cierre.
Este error no debe tolerarse nunca cuando haya razón para atribuirlo a una falta, no es admisible sino cuando se debe exclusivamente a un error inevitable y aún en este caso, es necesario que no sea muy grande. En el caso de tolerar el error, se procede a distribuirlo entre los diversos elementos de la poligonal.
Cuando se trata de una poligonal de A a B, al medir los elementos de esta poligonal abierta, se supone que se parte del vértice trigonométrico, que llamamos A, y por ende, llegaremos al otro vértice trigonométrico, que denominamos B, y a demás hemos adoptado la norma en cada vértice de hallar primero el azimut del punto de atrás o anterior, al cual llamamos azimut antecedente, para seguir con el azimut del punto de adelante, al cual llamamos azimut consecuente, para que una vez realizada esta operación de A a B, tendremos la poligonal cerrada angularmente, haciendo posible el cálculo del error de cierre. Para lo cual se estacionó el instrumento
en A y fué llevado constantemente orientado hasta B, para poder desde B visar A y lograr obtener un azimut de partida corregido en 200g., por lo que la diferencia con respecto a la lectura obtenida, fué el error angular de cierre.
Por consiguiente, en la figura, la suma de los angulos será igual a tantas veces 200g.,como lados tenga el polígono menos dos.
O bien, en este caso, la suma en cada vértice del ángulo interior y exterior, será de 400g., de donde restando la suma total de los interiores, obtendremos la suma total de los exteriores.
Y en este tercer y ultimo caso, al considerar un punto auxiliar M, el que en itinerario corta al lado AB dividiendolo en dos tramos, correspondiendo cada uno a los casos anteriormente explicados. Para lo cual consideraremos x1 a los angulos exteriores y x2 a los angulos interiores, respectivamente, y además designaremos n' y n a los vértices totales en cada poligonal, para lo cual quedará.
Por lo que, si sumamos y sustituimos x1+x2 por su igual 400g., nos arrojara  = n*200. De lo que se deduce, que en todos los casos se verifica la suma de los angulos que forman la visual de frente con la espalda en un itinerario, siendo siempre un múltiplo de 200g. En fin, de todo lo anterior, finalmente tendremos que para toda poligonal, sea cual sea ésta, la suma de todos sus angulos interiores, será:

 = (n-2)*200

Por lo que si la poligonal se apoya en do puntos determinados previamente por observaciones bien precisas, considerando como lado e la poligonal la longitud conocida, se tendrá:

 = (n-2)*200
L*Sen& = oDx
L*Cos& = oDy

Pero debido a los errores de observación, siendo Ex y Ey las proyecciones del error en el cierre, tendremos:

 = [(n-2)*200 ]+d
L*Sen& = Ex
L*Cos& = Ey

COMPENSACION DE LA POLIGONAL:
Al comenzar esta etapa, se deberá tener presente que serán tres tipos de errores a corregir: angular, lineal y altimétrico, alguno de los cuales ya hemos visado anteriormente. La secuencia de pasos a seguir, una vez que se tiene un chequeo de los datos de campo, y además ya se ha finalizado el trabajo en terreno, puede ser más o menos la siguiente:

Compensar los angulos horizontales y los angulos verticales, tanto en sus medidas directas como en transito, para proseguir con el cálculo de las distancias horizontales y promediarlas en los tramos correspondientes, para continuar con la comprobación de los angulos horizontales, ya sean de tipo interno o externo a la poligonal, para lo cual geométricamente se ocupan las fórmulas correspondientes, que ya fueron nombradas y explicadas con anterioridad en el presente informe; las que son:

 interiores = (n-2)*200
 exteriores = (n+2)*200

Si el error angular es menor o igual a la tolerancia angular, entonces se debe compensar el error, y para lo cual existen dos formas, las que son:

La primera es en forma proporcional, o sea distribuye proporcionalmente el error en forma porcentual, para lo cual se ocupa la formula siguiente:

Corrección = ( error * a compensar ) / total

La segunda forma, es distribuyendo el error en partes iguales en cada estación, dividiendo el error por el numero total de estaciones de la poligonal, algebraicamente así:

Correccion = error / nestaciones

Luego de hacer la compensación angular por alguno de los métodos anteriores, se calculan los azimutes, que son el ángulo formado por la meridiana y la proyección de la visual al astro, sobre el plano del horizontal por conveniencia; el azimut topográfico, se mide a partir del norte en sentido horario, siendo el que ocuparemos en nuestro trabajo, y el azimut astronómico se mide en el mismo sentido, pero iniciandose en el sur. Usando la siguiente formula:

Aza = Azb ± 200 ± horizontal

Se recomienda analizar gráficamente la situación de terreno, para deducir mas rápidamente y comprensiblemente la relación.
Continuando con nuestra compensación, ahora calculamos y compensamos las coordenadas parciales de cada estación o vértice de la poligonal, apoyados en los datos de distancia y azimutes respectivamente, ocupando las siguientes fórmulas:

x' = Distancia*Sen ( Az ) = xEste
y' = Distancia*Cos ( Az ) = xNorte

Sin embargo, al hacer el recorrido completo de la poligonal y llegar nuevamente al punto inicial, debería teóricamente coincidir el punto de llegada con el punto de inicio, pero como no será así, a ese error se le determino error lineal y se representa por:

elineal = ð e²xE + e²yN

Una vez eliminadas las faltas, es necesario cambiar la posición de todos los vértices, con el fin de cerrar la poligonal, sin forzar demasiado sus magnitudes, para lo cual, se desplazan todos los vértices de la poligonal en la dirección del error de cierre, para lo que se debe compensar en forma independiente cada coordenada, encontrandose aptos dos criterios que veremos:

Desplazamiento proporcional al numero de orden del vértice, lo que matemáticamente se expresa de la siguiente forma:

ðk = ( k*e ) / n

Lo que da origen a nuevas coordenadas, ahora de orden k, siendo x'k e y'k, respectivamente para cada eje coordenado,siendo:

xk = x'k - [ ( k*ex ) / n ]
yk = y'k - [ ( k*ey ) / n ]

Desplazamiento proporcional al camino recorrido a partir del origen, matemáticamente expresado:

ðk = [ e*  l]/ L

Por lo que las nuevas coordenadas del vértice de orden k, teniendo en cuenta que Ly y Lx, son igual a la suma de todas las proyecciones, cada una de las cuales, consideradas en valor absoluto, y siendo lx y ly tomados con los signos correspondientes, obteniendose las fórmulas algebraicas siguientes:

xk = x'k - [ e*  lx]/ Lx
yk = y'k - [ e*  ly]/ Ly

Una vez compensadas las nuevas coordenadas, las que pasaran a ser de carácter total una vez que en ellas no se encuentre ningún error de cierre, lo cual consiste en hacer la suma algebraica de cada una de las coordenadas respectivas, considerando alguna coordenada de origen referencial en algún vértice de la poligonal, ubicando a las demás; para lo cual se ocupa:

Esteb = Estea ± xk
Norteb = Nortea ± xk

Una vez finalizada la planimetría, se procede con el calculo de los desniveles en cada tramo de la poligonal, para luego promediarlos y calcular seguido a eso las cotas de las estaciones en el sentido de avance, para las cuales se aplican las fórmulas que más adelante se detallaran. De igual manera a todo lo desarrollado, de haber algún error de cierre, este se deberá compensar, siempre y cuando, este sea menor o igual al error altimétrico tolerable.

ERROR DE ÁNGULO EN UNA SOLA ESTACIÓN:
Cuando se ha cometido una falta en la medida de un ángulo en una sola estación, se puede encontrar la estación en que se ha cometido dicha falta, a condición de que se midan todos los angulos interiores de la poligonal. Si suponemos que se ha cometido una falta en la estación E, siendo este un error ñ, el que será acusado por la ecuación:

 = [(n-2)*200 ]+d

La que arrojara un valor aproximadamente de ñ para d. Por lo que si construimos gráficamente la poligonal, partiendo de A, luego B, etc., calculando previamente los azimutes en el mismo orden de partida, sin considerar el error encontrado para E, en lugar de llegar a A, llegaremos a A' por la desviación brusca sufrida en E, de no saber que E tiene el error, se procede a graficar nuevamente la poligonal, sobre la ya realizada, pero en lugar de hacer el recorrido ya hecho, se hará en sentido opuesto, con lo que encontraremos el vértice del error, el que se notara, debido a su proximidad a la intersección de ambas poligonales; de lo anterior, nos daremos cuenta, que el punto de intersección es E o muy próximo a él.

ERROR DE DISTANCIAS:
Cuando la condición de los angulos se verifica satisfactoriamente, y al graficar la poligonal, resultase un error de cierre muy grande, es así seguro que este se debe a faltas en la medida de las longitudes. Solo es posible localizar el error cuando corresponde a un solo lado de la poligonal. En este caso, el error de cierre, será paralelo a la dirección del lado culpable, por lo que se puede comprender, el éxito no es siempre seguro, porque podrían haber varios lados cuya dirección sea muy parecida, como lo ocurrido frecuentemente en
trabajos llevados por los caminos públicos, y en este caso, siempre subsiste la indeterminación. Por lo que debido a la serie de circunstancias que tienden a ocurrir para la localización de este error, en la mayoría de las situaciones en que aparece, es necesario rehacer parte del trabajo.

ERRORES DE CIERRE TOLERABLES:
Siendo la tolerancia el error máximo aceptable en toda observación, para lo cual se eliminan las equivocaciones, aceptando dentro de un cierto limite esperado, tanto los errores sistemáticos como accidentales.
Como las pequeñas equivocaciones no son fáciles de detectar, y ellas no producen generalmente grandes dificultades, se procede en el momento de su encuentro, a tratarlas y no a eliminarlas, sino que burlarlas del lugar en que entorpecen.
Aunque en distintos países son diferentes los limites de cierres tolerables para las poligonales, hay poca variación de unos a otros, y siempre son dependientes de la clase de terreno en que se opera, ya sean estos llanos, quebrados y/o accidentados.

Por ejemplo, para las tolerancias se podrían adoptar las fórmulas prescritas por el catastro italiano, para el cual, el error de cierre angular no debe ser mayor de:

2 ð n , minutos sexagesimales
4 ð n , minutos centesimales

siendo n el numero de vértices de la poligonal.
El error de cierre lineal de una poligonal de longitud L, no debe ser mayor que la cantidad T dada por las fórmulas:

T = 0.015 ð L + 0.0008 L + 0.1 ð n - 1 , en terreno llano
T = 0.020 ð L + 0.0008 L + 0.1 ð n - 1 , en terreno quebrado
T = 0.025 ð L + 0.0008 L + 0.1 ð n - 1 , en terreno accidentado

Cuando los expuestos limites de tolerancia no son superados, se consideran como buenas las operaciones de levantamiento, pasando de inmediato a la compensación de los errores.