TRANSFORMACION AFIN BIDIMENSIONAL
La transformación de coordenadas afín bidimensional, es sólo una pequeña modificación de la transformación de semejanza (2-D) vista anteriormente, a la cual se le incluyen diferentes factores de escala (dirección eje de abscisas y ordenadas) y falta de ortogonalidad entre sus ejes.
Esta transformación es usada comúnmente en fotogrametría para pasar coordenadas medidas del sistema comparador al sistema de marcas fiduciales.
Expresión general
Sustituyendo la expresión (1) en la (2) obtendremos:
Determinación de los parámetros
Al igual que en la transformación anterior, pueden determinarse los parámetros de dos maneras diferentes.
- Primera solución:
Partiendo de la expresión general:
donde las incógnitas a determinar son los seis parámetros representados por a, b, c, d, Tx, Ty.
Conocidas las coordenadas de tres puntos en ambos sistemas, pueden determinarse los seis parámetros incógnitas de la transformación afín. Normalmente al utilizarse esta transformación, para pasar del sistema comparador al de las marcas fiduciales, suelen medirse las coordenadas de al menos cuatro marcas fiduciales, proporcionando redundancia en la determinación de los parámetros.
Partiendo de conocer las coordenadas en ambos sistemas, de un número “n” de puntos de control, siendo (n ≥ 3) tendremos que cada punto da lugar a dos ecuaciones; por lo tanto tendremos un sistema con 2n ecuaciones con seis incógnitas.
Representando los sistemas de coordenadas con orígenes comunes en el centroide de referencia, se tendrá:
Caso particular
Si los sistemas (x´, y´) (x, y) fuesen ortogonales, la expresión general quedará:
Precisión de la transformación
Como en la transformación anterior, una vez determinados los parámetros de la transformación pueden obtenerse sin ningún tipo de dificultad los residuos en X e Y de cada uno de los puntos que han intervenido en el cálculo de la transformación y proceder a determinar el error medio cuadrático. En este caso resulta el siguiente valor:
