TRANSFORMACION BIDIMENSIONAL CONFORME

Una transformación de semejanza aplicada sobre una figura, es aquella que no varía su verdadera forma después de la transformación.
Para aplicar una transformación bidimensional de semejanza es necesario conocer como mínimo las coordenadas de dos puntos en ambos sistemas. Se mejora la precisión en la transformación, si los puntos se eligen lo más alejados posibles.

Una transformación de coordenadas bidimensional de semejanza consiste en tres pasos básicos:

- Giro.
- Cambio de escala.
- Traslación.

Supongamos dos sistemas de coordenadas ortogonales (X, Y) (x, y) independientes, donde un punto P está referido a los dos sistemas. Se van a deducir las relaciones entre las coordenadas de este punto en ambos sistemas, en los casos mencionados anteriormente.

Giro

Partiendo de los sistemas de coordenadas de referencia (X, Y) y arbitrario (x, y) y suponiendo este último girado un valor α respecto del sistema de referencia (Fig. 1).

De la figura 1 puede deducirse fácilmente las expresiones:

Obteniéndose las coordenadas de un punto P(x, y) en el sistema de referencia:

Expresado las expresiones anteriores en forma matricial tendremos:

Llamando a la matriz de rotación de los senos y cosenos por:

Podremos expresar el giro de la forma:

Traslación

Consideremos ahora el caso de la figura 2, es decir, los ejes de ambos sistemas son paralelos, pero el origen del sistema (x, y) tiene de coordenadas (TX,TY) respecto del sistema (X, Y)

De la figura 2 se deduce que:

Expresando las coordenadas en forma matricial tendremos:

Cambio de escala

Supongamos ambos sistemas de coordenadas con origen de coordenadas coincidentes y diferentes unidades de medida (Fig. 3).

Como en el caso anterior de la figura 3 se desprende que las coordenadas de un punto P(x, y) pueden expresarse de la forma:

Expresión general

Considerando el caso más general, es decir, ejes girados, trasladados y con diferentes unidades de medida, tendremos:

Expresado en forma matricial la expresión anterior se tiene:

pudiendo expresar la relación anterior de la siguiente forma:

donde los parámetros de la transformación a calcular son respectivamente a, b, Tx, Ty.
Conocidos los parámetros a y b puede determinarse el giro y el factor de escala (a= λ cosα, b= λ senα).

Esta transformación es conocida con el nombre de “Transformación de Helmert”.

Determinación de los parámetros

Existen varias formas de solucionar las incógnitas de este problema:

1. Situando el origen de cada uno de los dos sistemas de coordenadas, en un origen común (c.d.g.).

2. Aplicando la metodología de mínimos cuadrados. (Sistema de observaciones indirectas).

- Primera solución:

Partiendo de la expresión general:

donde las incógnitas a determinar son a, b, TX , TY , siendo:

- Tx , Ty la traslación del sistema de coordenadas arbitrario respecto del sistema de referencia.

- a y b el giro y la traslación conjuntamente.

Conocidas las coordenadas de dos puntos en ambos sistemas podrán determinarse las cuatro incógnitas de la transformación de semejanza. No obstante, si en alguna coordenada existiese algún error en su determinación, los elementos de la T.S. serán calculados erróneamente, no existiendo posibilidad de detectar el error al efectuar la operación. Por ello, partiremos del hecho de tener un número de puntos mayor de dos, para poder determinar con mayor fiabilidad las incógnitas de una T.S. bidimensional.

Planteamiento del problema:

Conocidas las coordenadas de dos puntos en ambos sistemas podrán determinarse las cuatro incógnitas de la transformación de semejanza. No obstante, si en alguna coordenada existiese algún error en su determinación, los elementos de la T.S. serán calculados erróneamente, no existiendo posibilidad de detectar el error al efectuar la operación. Por ello, partiremos del hecho de tener un número de puntos mayor de dos, para poder determinar con mayor fiabilidad las incógnitas de una T.S. bidimensional.

Dada una figura formada por un número “n” de puntos (P1,P2,P3,.....,Pn ), siendo n≥2, la cual está referida a dos sistemas de coordenadas ortogonales, que se diferencian en un giro, una traslación y un cambio de escala.

Tenemos como dato de partida las coordenadas de “n” puntos en ambos sistemas; cada punto da lugar a dos ecuaciones; por lo tanto tendremos un sistema con 2n ecuaciones con cuatro incógnitas (a, b, Tx, Ty), llamados parámetros de la transformación:

Datos de partida:

Obtenemos las coordenadas del centro de gravedad (centroides) de ambos sistemas:

Resultando las coordenadas de los “n” puntos con origen en sus centroides respectivos:

Representando los sistemas de coordenadas (referencia y arbitrario) con origen en el centroide (c.d.g.) (Fig. 4).

Aplicando la expresión general de la transformación bidimensional conforme (7) al nuevo origen de coordenadas, resultará que las coordenadas de un punto P cualquiera vendrán dadas por la expresión:

El valor de las incógnitas (a, b) vendrá dado por la expresión:

En el caso de utilizar observaciones con igual precisión (los pesos de las observaciones son idénticos [W] = 1), la solución a la que se llega es:

Precisión de la transformación

Estableciendo los sistemas de coordenadas por medio de la expresión general, se procederá a resolver los parámetros de la transformación, según lo visto anteriormente.

Aplicando la expresión de la transformación e introduciendo en ella los parámetros que han sido obtenidos a partir de los mismos puntos Pi , (xi, yi), (i=1, 2,....n; n>2) y que han servido para su determinación, se obtendrán unos nuevos valores del sistema de referencia (Xci, Yci), que no coincidirán con los datos de partida (supuestos estos sin error). Pueden determinarse fácilmente los residuos de la transformación, restando estos valores, que llamaremos los calculados en la transformación, a los de partida, resultando: